Inhalt: Extremalstellen / Wendepunkte, Steigungsproblem, Schnittwinkelproblem, Tangentenproblem, Berührproblem
Extremalstellen:
1. Schritt:
- f'(x) = 0 und nach x auflösen
2. Schritt:
- Die Lösungen xE werden getestet, indem man den/ die x-Werte jeweils in f''(x) einsetzt:
-> f''(x) < 0 Hochpunkt
-> f''(x) > 0 Tiefpunkt
-> f''(x) = 0 keine Aussage
3. Schritt (falls nach Punkt gefragt):
- y-Koordinate berechnen:
-> der/ die x-Wert(e) von Schritt 1 werden in f(x) eingesetzt
-> man schreibt HP ( x / y ) bzw. TP ( x / y)
Wendepunkte:
1. Schritt:
- f''(x) = 0 nach x auflösen
2. Schritt:
- Die Lösungen xE werden getestet, indem man den/ die x-Werte jeweils in f'''(x) einsetzt:
-> f'''(x) < 0 Links-Rechts-Wendepunkt
-> f'''(x) > 0 Rechts-Links-Wendepunkt
-> f'''(x) = 0 keine Aussage
3. Schritt (falls nach Punkt gefragt):
- y-Koordinate berechnen:
-> der x-Wert von Schritt 1 wird in f(x) eingesetzt
-> man schreibt L-R-WP ( x / y ) bzw. R-L-WP ( x / y)
Um den Steigungswinkel an der Stelle x zu berechnen:
1. Schritt: Ableitung f'(x) von f(x) bilden
2. Schritt: Steigung m an Stelle x berechnen -> x-Wert in f'(x) einsetzen
3. Schritt: Steigungswinkel berechnen -> tanα = m | m ist Steigung die in Schritt 2 berechnet wurde
-> α = ...
Bsp: f(x)= 1/2x^2 - 2x, Steigung an Stelle x = 3
1: f'(x) = x - 2
2: f'(3) = 3 - 2 = 1
3: tanα = 1
-> α = 45°
Um den Schnittwinkel von 2 Funktionen (f(x) und g(x)) zu berechnen
1. Schritt: 1. Ableitung beider Funktionen bilden (f'(x) und g'(x))
2. Schritt: Beide Funktion gleich setzen (f(x) = g(x)) und nach x auflösen -> Schnittpunkt
3. Schritt: Steigung beider berechnen -> x-Wert von 2. in beide Funktionen einsetzen
4. Schritt: Steigungswinkel berechnen von beiden
5. Schritt: Winkel γ= 180° - (α - β)
6. Schritt: γ ist der Schnittwinkel, wenn kleiner als 90° ist
Um die Funktionsgleichung einer Tangente an der Stelle P(x / y) zu berechnen
1. Schritt: Ableitung f'(x) von f(x) bilden
2. Schritt: Steigung m an der Stelle x = ... berechnen indem x-Wert in f'(x) eingesetzt wird
3. Schritt: n Berechnen
t(x) = mx + n | x,y-Wert vom Punkt einsetzten und Steigung m vom 2.Schritt einfügen, nach n auflösen
n = ...
4. Schritt: Tangentengleichung ausstellen (m, n in t(x) = mx + n einsetzen)
Bsp: f(x) = 1/2x^2 , P(1 / 0,5)
1. f'(x) = x
2. f'(1) = 1 -> m = 1
3. t(x) = mx + n
0,5 = 1 * 1 + n
n = -0,5
4. t(x) = 1x - 0,5
Um den Punkt anzugeben, wo sich 2 Graphen berühren und die Berührtangente zu berechnen
1. Schritt: Gemeinsamen Punkt P berechnen
-> f(x) und g(x) gleichsetzten f(x) = g(x) und nach x auflösen
-> x-Wert in f(x) einsetzen für die y-Koordinate
P (x / y) -> das ist der Berührpunkt
2. Schritt: Ableitung beider Funktionen bilden -> f'(x) und g'(x)
3. Schritt: Steigung an der x-Stelle berechnen
-> x-Wert von P aus 1.1. in f'(x) und g'(x) einsetzen
-> Wenn f'(x) = g(x) berühren sich die Graphen im Punkt (x / y)
4. Falls gefragt die Tangentengleichung aufstellen, wie beim Tangentenproblem
Bsp: f(x) = x^2 + 2 g(x) = 4x - x^2
1. f(x) = g(x)
x^2 + 2 = 4x - x^2 | -4x + x^2
2x^2 - 4x +2 = 0 | :2
x^2 - 2x +1 = 0 | p,q-Formel
x1 = 1
y-Koordinate: x1 in f(x)
f(1) = 1^2 + 2
f(1) = 3 -> P (1 / 3)
2. f'(x) = 2x g'(x) = 4 - 2x
3. f'(1) = 2 g'(1) = 2
-> Da f'(1) = g'(x) berühren sich die Graphen im Punkt P (1 / 3)
4. t(x) = 2x + 1