Tabelle für die Rekonstruktion von Funktionen
Funktionswert y0
f(x0) = y0
Nullstelle
f(x0) = 0
Extremalstelle
f'(x0) = 0
Wendestelle
f''(x0) = 0
Sattelpunkt
f'(x0) = 0
f''(x0)= 0
Berührungspunkt mit g
f(x0) = g(x0)
f'(x0) = g'(x0)
Bsp.: Gesucht wird die Funktion f, sie ist eine quadratische Parabel und hat folgende Merkmale:
1. Nullstelle bei x = 4
2. Extrema bei x = 2
3. Verläuft durch Punkt P (3 / -1,5)
1. Schritt: Ansatz für die Gleichung f
f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
2. Schritt: Eigenschaften
(1) Nullstelle x = 4
(2) Extremum x = 2
(3) Punkt P (3 / -1,5)
3. Schritt: Aufstellen eines Gleichungssystems (siehe dafür bei der Tabelle oben nach!)
(1) f(4) = 0 -> I: 16a + 4b + c = 0
(2) f'(2) = 0 -> II: 4a + b = 0
(3) f(3) = - 1,5 -> III: 9a + 3b + c = - 1,5
4. Schritt: Lösung des Gleichungssystems
IV= I - III: 7a + b = 1,5
V = IV - II: 3a = 1,5
aus V: a = 0,5 | die Rechnung wurde wegen der Einfachheit weggelassen
a in II: b = - 2
a,b in I: c = 0
5. Schritt: Resultat
f(x) = 0,5 x^2 - 2x